# Course Name: Nonlinear Control

###### This course aims to introduce the analysis of nonlinear systems and the common nonlinear control schemes. The course consists of system analysis and controller synthesis, with the objective to familiarize the student with adequate analysis tools, while providing them design skills. To evaluate the expertise of the student in nonlinear control analysis and synthesis, in addition to mid-term and final exams, the student will accomplish a comprehensive design task in a series of the assignment exercises using Matlab simulations. Moreover, a research project is done by every student to further study an advanced topic as a term project. The details of the course are as follows.

Date: Sunday and Tuesday 7:30 – 9:00 (T+3:30 GMT Tehran Local Time) OR Saturday and Monday 23:00 – 00:30 (-5:00 GMT Canada Eastern Time Zone)

Classroom Platform User Guide (En)

Classroom Platform User Guide (Fa)

Social Media
Office Hours
##### Office Hour Electronic Meeting
###### Date: Sunday and Tuesday 9:00 – 10:00 (T+3:30 GMT Tehran Local Time) OR Saturday and Monday 00:30 – 01:30 (-5:00 GMT Canada Eastern Time Zone)

ساعات پذیرش دانشجویان درس.

### Tentative Course Timetable

 Time: Teaching Contents Week 1 Introduction: Nonlinear system representation, state-space equations, equilibrium point, multiple isolated equilibria, nonlinear system characteristics, limit cycle, bifurcation, chaos, nonlinear system examples, pendulum, tunnel-diode, mass-spring-damper, negative resistance, Van der Pol, Common nonlinearities such as a relay, dead-zone, saturation, hysteresis. Week 2 2nd Order Systems:  Phase portrait analysis; definitions, singular point, vector fields, phase portrait construction. Qualitative behaviour near equilibrium point; review of linear systems, nonlinear system multiple equilibria, linearization method at the vicinity of equilibria. Week 3 2nd Order Systems: Periodic orbit and limit cycle; definition, types, energy perspective, existence and non-existence theorems, examples. Bifurcation; definition, saddle-node, transcritical, pitchfork, Hopf, global and holonomic orbit bifurcation. Week 4 Lyapunov Stability of Autonomous Systems: Definitions, the concept of Lyapunov analysis, Lyapunov direct method, Lyapunov function, global stability and instability theorem. Week 5 Lyapunov Stability of Autonomous Systems: Invariant set theorems, Krasovskii-Lasalle’s theorem, local and global stability, the region of attraction, attractive limit cycle, linearization and Lyapunov indirect method, Lyapunov equation, Lyapunov function generation and Lyapunov based controller design. Week 6 Advanced Stability Analysis: Motivation example, definition, the notion of uniformity, Class K and KL functions. Non-autonomous Lyapunov analysis, Lyapunov analysis and Class K and KL functions, Lyapunov extensions. Week 7 Advanced Stability Analysis: LTV systems; frozen time conjecture, TV Lyapunov equation, Linearization theorems. Invariance-like theorems; Barbalat’s Lemma, uniformly continuous functions, extensions of invariance theorem. Week 8 Advanced Stability Analysis: Boundedness and ultimate bound, Lyapunov analysis, UUB stability;  Input-to-state stability; linear versus nonlinear input stability, local and global stability theorems. Week 9 Midterm Exam Week 10 Frequency Domain Analysis of Feedback systems:  Feedback system of a linear system and a nonlinear term, absolute stability, Circle and Popov Criteria. Describing function analysis; illustrating example, assumptions and definitions, computing describing functions, Review of Nyquist criterion, existence and stability of limit cycle, examples. Week 11 Feedback Linearization: Concepts, Differential geometry; gradient and jacobian, Lie algebra, involutivity and diffeomorphism. Input-output feedback linearization, relative degree. Week 12 Feedback Linearization: Input-output linearization; relative degree, normal form zero dynamics, non-minimum phase systems, state feedback control, regulation and tracking, Input-state feedback linearization, feasibility conditions, suitable diffeomorphism, state-feedback control. Week 13 Lyapunov-Based Controllers: Backstepping; design Idea, integrator, recursive and general backstepping, examples. Robust nonlinear control, motivating example, switching control, uncertainty description, stabilizing controller, regulation and tracking, chattering, and continuous control, UUB stability. Week 14 Lyapunov-Based Controllers:  Liapunov redesign, regular form, robustification and Lyapunov analysis, 2-norm robust controllers, infinity-norm robust controllers, examples. Week 15 Nonlinear Observers:  Local Observers; Linear observer, Kalman filters, extended Kalman filter; Global observer; certain nonlinear model, uncertain systems, High gain observers.

Research 1

## (Chaos) تحقیق اول – نظریه آشوب

لطفا این تحقیق را در دو مرحله گزارش فرمایید.

در مرحله اول تا یکشنبه آتی مطالعات اولیه خود را در خصوص نظریه آشوب، تعریف آن، مثال های واقعی آن در طبیعت، و فهم اولیه ای که از آن پیدا کرده اید را ارائه نمایید.

در مرحله دوم تا پایان ترم تعریف دقیقتری از آن ارائه نموده و با ریاضیات موضوع آشنا شده، به موضوعاتی نظیر    topologically transitive and topologically dense اشارات دقیق تری داشته باشید. برای نمونه برخی از فایلهای پیشین دانشجویان را ضمیمه کرده ام.

A Panorama of Chaos Theory

Chaos

یک نمونه از پژوهش های عمیق و جذاب دانشجویان کلاس برای مطالعه و بهره گیری سایرین در فایل های پیوست اضافه شد. 99/7/8

Research 2

## فایل های مرتبط با ترسیم صفحه فاز

لطفا بررسی کنید اگر نسخه جدید تری وجود دارد جهت استفاده دانشجویان به اینجانب ایمیل کنید.

از این پیوند هم می توانید استفاده کنید:

https://aeb019.hosted.uark.edu/pplane.html

Phase Portratis Implementation by Python3.7.pdf

Research 3

## اهمیت بردارهای ویژه‌ی مختلط در ترسیم صفحه‌ی فاز

همان‌گونه که مطلع هستید، بردارهای ویژه‌ی حقیقی در ترسیم تقریبی صفحه‌ی فاز بسیار حائز اهمیت بوده و جهت‌گیری منحنی‌های فاز را تعیین می‌کنند. تحقیق نمایید آیا مقادیر حقیقی و موهومی بردارهای ویژه در حالتی که سیستم خطی دارای مقادیر ویژه‌ی مختلط می‌باشد نیز در ترسیم صفحه فاز موثرند؟ چگونه؟

—————————————————————————–

یک نمونه از پژوهش های دانشجویان کلاس برای مطالعه و بهره گیری سایرین در فایل های پیوست اضافه شد. 99/7/15

Research 4

## آیا در اثبات قضیه‌ی لیاپانوف آورده‌شده در کتاب خلیل تصحیحی لازم است انجام شود؟

Research 5

روش‌های تخمین دقیق‌تری از محدوده‌ی جذب (*) یک نقطه‌ی تعادل را بررسی و با ذکر مثال‌هایی آنرا گزارش نمایید.

(*) = RoA

Research 6

یکی از روش های تعیین سیستماتیک توابع لیاپانوف برای سیستم های دینامیکی غیر خطی با عنوان( S.o.S (Sum of Squares  مشهور است.

لطفا این روش را به دقت بررسی نموده، جعبه ابزار آن در متلب را بارگذاری و برای چند سیستم نوعی استفاده کنید.

اگر میسر شد مواردی که این روش نمی تواند موثر واقع شود را نیز بررسی نمایید.

دو نمونه از مقاله هایی که در این زمینه انجام شده است در این قسمت آورده شده است

SOStools

Sum of Squares Tutorial

در این فایل نیز با سه سیستم نسبتا ساده به لحاظ تعداد ترم های غیر خطی ولی با رفتار دینامیکی جالب آشنا می شوید. تحلیل پایداری یا ناپایداری مبدا در این سیستم ها چالش بر انگیز است. سیستم سوم عدم توانایی جعبه ابزار SoS در تعیین تابع لیاپانوف را به رخ می کشد.

Some_examples

Assignment 1

Assignment2

Assignment 3

Assignment4

### Assignment4 | Solution4

##### Projects
Project description

مطابق با توضیحات داده شده در متن فایل پیوست، عناوین پروژه های پیشنهادی را بررسی نموده و در زمان مقرر نسبت به انتخاب یکی از این پروژه ها یا ارسال پروپزال پروژه تعریف شده خودتان اقدام نمایید. مهلت انتخاب یا ارائه پیشنهاد پروژه شما 99/8/11 بوده و مهلت تحویل گزارش اول پروژه شما دوم آذر ماه 99 است.

NC Project Topics

KNTU Thesis Template

### Course Videos

در صورتی که در مشاهده‌ی فیلم‌ها با خطا مواجه شدید به کانال یوتیوب مراجعه فرمایید. هم‌چنین با توجه به این که قاب مربوط به ویدیوها از همان لحظه‌ی شروع فرآیند بارگذاری بر روی یوتیوب بر روی سایت قرار داده می‌شوند تا هم‌زمان با اتمام بارگذاری، فیلم‌ها بلافاصله بر روی سایت قرار گیرند، اگر فیلمی در ساعات اولیه‌ی پس از اتمام کلاس نمایش داده نمی‌شد، برای مشاهده‌ی آن پس از اتمام فرآیند بارگذاری شکیبا باشید.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

##### 16-20

16

17

18

19 (رفع اشکال میانترم)

##### Reference Materials:
 1 Applied Nonlinear Control, J.J. Slotine and W. Li, Prentice Hall, 1991. 2 Nonlinear Control Systems, A. Isidori, Springer Verlag, 1995. 3 Nonlinear System Analysis, M. Vidyasagar, Prentice-Hall, 1993. 4 Selected Papers